Quartile: Definition, Erklärung & Berechnen (2024)

Wie der Name schon sagt, unterteilen Quartile eine sortierte Datenreihe in 4 gleich große Teile. Dabei entstehen aber nicht 4 Quartile, sondern nur 3, weil mit dem Quartil die Position zwischen zwei Vierteln gemeint ist. Sie werden bezeichnet als:

• unteres Quartil \(Q_1\)
• Median \(M\)
• oberes Quartil \(Q_3\)

Der Median stellt die Mitte der Datenreihe dar.

Abb. 1 – Quartile und Median einer Datenreihe

Das 2. Quartil wird übersprungen, weil der Median das 2. Quartil ist.

Die folgende Tabelle lässt sich ebenfalls in 4 Teile aufteilen:

Hier gibt es genau 4 Werte, also können die Quartile ohne weitere Rechnung eingefügt werden.

Du könntest auch gleich feststellen, an welchem Wert die Quartile ihre Position haben, nämlich jeweils in der Mitte zwischen \(0\) und \(10\), \(10\) und \(20\), \(20\) und \(30\). Also bei \(5\), \(15\) und \(25\).

Dieses Prinzip gibt es auch im Kugel Fächer Modell in der Stochastik.

Zur Berechnung von Quartilen sind die Größen \(n\) für die Anzahl an Werten und \(p\) für das p-Quantil von Bedeutung. Mit dem p-Quantil ist die Position des gewünschten Quantils im Datensatz gemeint.

\begin{align}\text{1. Quartil} &\rightarrow p=0{,}25\\\text{2. Quartil} &\rightarrow p=0{,}5\\\text{3. Quartil} &\rightarrow p=0{,}75\end{align}

Die allgemeine Berechnungsformel lautet:

\begin{align*}Q_x=\begin{cases} \frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1) & \text{ wenn }n\cdot p\text{ ganzzahlig}\\ \lceil n\cdot p \rceil& \text{ wenn }n\cdot p\text{ nicht ganzzahlig}\end{cases}\end{align*}

\(\lfloor x \rfloor\) heißt abrunden, egal wie groß die Zahl nach dem Komma ist und bei \(\lceil x \rceil\) rundest Du auf.

Es wird hier also unterschieden zwischen ganzzahligen und nicht ganzzahligen Werten. Im Falle der nicht ganzzahligen Werte wird \(np\) immer aufgerundet, egal welche Zahl nach dem Komma steht.

Für eine Datenreihe mit \(100\) Werten kannst Du den Median mit der allgemeinen Formel berechnen, denn \(n\cdot p\) ergibt eine ganze Zahl.

\[n\cdot p= 100\cdot\text{0,5}=50\]

Denk daran, der Median ist die Mitte der Datenreihe und hat somit ein p-Quantil von \(\text{0,5}\). Die Variable \(n\) ist die Anzahl der Werte, also \(100\).

\begin{align}M&=\frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1)\\[0.2 cm]&=\frac{1}{2}(2\cdot100\cdot\text{0,5}+1)\\[0.2 cm]&=\frac{1}{2}\cdot101\\[0.2 cm]M&=\text{50,5}\end{align}

Hier liegt der Median zwischen dem \(50.\) und \(51.\) Wert.

Wären \(99\) Werte gegeben, müsstest Du die Formel für nicht ganzzahlige Werte verwenden und aufrunden:

\begin{align}M&=\lceil n\cdot p \rceil\\&=\lceil 99\cdot \text{0,5} \rceil\\&=\lceil \text{49,5} \rceil\\M&=50\end{align}

Hier liegt der Median genau auf dem \(50.\) Wert

Denk daran, dass nur bei der Formel für nicht ganzzahlige Werte aufgerundet wird.

Jegliche Art von Quantilen dient der Interpretation einer Datenreihe. Im Falle der Quartile kannst Du sagen, dass:

• beim 1. Quartil bis zu \(75\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_1\) und \(25\,\%\) kleiner.
• der Median die Mitte aller Werte darstellt. Es sind also jeweils \(50\,\%\) größer oder kleiner als \(M\)
• beim 3. Quartil bis zu \(25\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_3\) und \(75\,\%\) kleiner.

Deutlich wird das zum Beispiel, wenn Du etwas kaufen willst und dafür Preise vergleichst. Angenommen, Du hast Dir dazu schon eine kleine Tabelle angelegt und die Quartile ausgerechnet und findest nun ein weiteres Angebot eines anderen Verkäufers.

Du hast folgende Werte für die Quartile berechnet:

• \(Q_1=\text{16 €}\)
• \(M\,=\text{20 €}\)
• \(Q_3=\text{24 €}\)

und der Verkäufer bietet sein Produkt zum Preis von \(\text{18 €}\) an.

Sein Angebot liegt unter dem Median von \(\text{20 €}\), aber dennoch über dem 1. Quartil von \(\text{16 €}\). Das heißt \(50\,\%\) (also die Hälfte) der Konkurrenz ist teurer als er, allerdings bieten auch \(25\,\%\) (also \(\frac{1}{4}\)) der Konkurrenz dieses Produkt zu einem günstigeren Preis an. Eine Verhandlung des Preises könnte sich also lohnen.

Hättest Du die \(\text{18 €}\) erst mit dem Rest Deiner Tabelle vergleichen müssen, hätte das vermutlich wesentlich länger gedauert.

Ein Züchter hat über die letzten Jahre notiert, wie viele Tiere jedes Jahr bei ihm geboren wurden. Er hat sie in aufsteigender Reihenfolge notiert und möchte nun wissen, in welchem Anteil der Jahre er 50 oder mehr Tiere gezüchtet hat.

Zur Berechnung der Quartile kommen beide Formeln zum Einsatz, denn die Hälfte von \(14\) ist eine gerade Zahl, ein Viertel oder Dreiviertel davon aber nicht.

\begin{align}Q_1 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 14\cdot \text{0,25} \rceil\\&= \lceil \text{3,5} \rceil\\Q_1&=4\\\\M &= \frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1)\\[0.2cm]&= \frac{1}{2}(2\cdot 14\cdot \text{0,5}+1)\\[0.2cm]&= \frac{1}{2}\cdot 15\\[0.2cm]M&=\text{7,5}\\\\Q_3 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 14\cdot \text{0,75} \rceil\\&= \lceil \text{10,5} \rceil\\Q_3&=11\end{align}

Die gesuchte Anzahl von 50 neuen Tieren ist erst beim 3. Quartil erreicht, das heißt in \(25\,\%\) der protokollierten Jahre erreicht er eine Quote von 50 oder mehr neuen Tieren.

Aufgabe 1

Eine Gruppe Schüler misst für eine Projektarbeit, wie schnell die Menschen mit E-Scootern in der Stadt fahren. Sie ermitteln dabei folgende Werte:

Berechne die Quartile für diese Werte.

Lösung

Es sind 9 Werte gegeben, also verwendest Du die Formel für nicht ganzzahlige Werte.

\begin{align}Q_1 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 9\cdot \text{0,25} \rceil\\&= \lceil \text{2,25} \rceil\\&=3\\\\M &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 9\cdot \text{0,5} \rceil\\&= \lceil \text{4,5} \rceil\\&=5\\\\Q_3 &= \lceil n\cdot p \rceil\\&= \lceil 9\cdot \text{0,75} \rceil\\&= \lceil \text{6,75} \rceil\\&=7\end{align}

Das 1. Quartil liegt auf dem 3. Wert, der Median auf dem 5. Wert und das 3. Quartil auf dem 7. Wert.

Aufgabe 2

Wie kannst Du das Ergebnis aus Aufgabe 1 interpretieren, wenn eine Geschwindigkeit ab \(15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) in der Altstadt als gefährlich gilt?

Lösung

Eine Geschwindigkeit von \(15\,\frac{\text{km}}{\text{h}}\) liegt bereits ab dem 1. Quartil vor, das heißt, bis zu \(75\,\%\) der E-Scooter-Nutzer fahren in der Altstadt zu schnell und maximal \(25\,\%\) gefährden die Fußgänger nicht.

Quartile – Das Wichtigste

• Quartile unterteilen eine sortierte Datenreihe in 4 gleich große Teile. Dabei entstehen aber nicht 4 Quartile, sondern nur 3, weil mit dem Quartil der Wert zwischen zwei Vierteln gemeint ist. Sie werden bezeichnet als:
  • unteres Quartil \(Q_1\)
  • Median \(M\)
  • oberes Quartil \(Q_3\)

• Der Median stellt die Mitte der Datenreihe dar.

• Die allgemeine Berechnungsformel für Quartile lautet:

  \begin{align*}Q_x=\begin{cases} \frac{1}{2}(2\cdot n\cdot p+1) & \text{ wenn }n\cdot p\text{ ganzzahlig}\\ \lceil n\cdot p \rceil& \text{ wenn }n\cdot p\text{ nicht ganzzahlig}\end{cases}\end{align*}

• Jegliche Art von Quantilen dient der Interpretation einer Datenreihe. Im Falle der Quartile kannst Du sagen, dass:

  • beim 1. Quartil bis zu \(75\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_1\) und \(25\,\%\) kleiner.
  • der Median die Mitte aller Werte darstellt. Es sind also jeweils \(50\,\%\) größer oder kleiner als \(M\)
  • beim 3. Quartil bis zu \(25\,\%\) der Werte größer sind als \(Q_3\) und \(75\,\%\) kleiner.

Nachweise

1. Meintrup, David; Schäffler, Stefan (2006) Stochastik Theorie und Anwendungen, Springer
2. Behrends, Ehrhard (2012) Elementare Stochastik Ein Lernbuch - von Studierenden mitentwickelt, Springer Spektrum

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Quartile berechnest Du mit der gleichen Formel wie Quantile. Sie lautet

• 1/2(n•p+n•p+1) für ganzzahlige Werte von n•p
• und n•p aufgerundet für nicht ganzzahlige Werte.

n ist dabei die Anzahl der Werte und p ist die Position des Quartils, also 0,25 oder 0,5 oder 0,75.

Jegliche Art von Quantilen dient der Interpretation einer Datenreihe. Im Falle der Quartile kannst Du sagen, dass:

• beim 1. Quartil bis zu 75 % der Werte größer sind als Q₁ und 25 % kleiner.
• der Median die Mitte aller Werte darstellt. Es sind also jeweils 50 % größer oder kleiner als M.
• beim 3. Quartil bis zu 25 % der Werte größer sind als Q₃ und 75 % kleiner.

Für die Berechnung des oberen und unteren Quartils nutzt Du die Berechnungsformel:

• 1/2(n•p+n•p+1) für ganzzahlige Werte von n•p
• und n•p aufgerundet für nicht ganzzahlige Werte.

Für das untere Quartil verwendest Du den Wert 0,25 für p und für das obere Quartil den Wert 0,75.

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